Fast Calculation of Thermophysical Properties in Extensive Process Simulations with the Spline-Based Table Look-Up Method (SBTL)

Produktbeschreibung

The presented Spline-Based Table Look-Up Method (SBTL) is intended to be used for fast and accurate property calculations in computationally extensive process simulations, such as Computational Fluid Dynamics (CFD), heat-cycle calculations, simulations of non-stationary processes, and real-time process optimizations, where conventional multiparameter equations of state may be unsuitable because of their computing time consumption. Through the use of the SBTL method, the results of existing property formulations are accurately reproduced at high computational speed. SBTL property functions, their first derivatives, and inverse functions are continuous and numerically consistent with each other. The developed algorithms are successfully applied in commercial and non-commercial software products for CFD, heat-cycle calculations, and simulations of non-stationary processes. The International Association for the Properties of Water and Steam has adopted the “Guideline on the Fast Calculation of Steam and Water Properties with the Spline-Based Table Look-Up Method (SBTL)”.

Contents

List of Symbols and Nomenclature ……………………………………………………………………….. VIII
1 Introduction …………………………………………………………………………………………………………… 1
2 Property Calculation Algorithms for Numerical Process Simulations ………………………. 4
2.1 Simple Thermal Equations of State ……………………………………………………………………… 4
2.1.1 Ideal-Gas Model ………………………………………………………………………………………… 4
2.1.2 Cubic Equations of State …………………………………………………………………………….. 6
2.2 Fundamental Equations of State ………………………………………………………………………… 10
2.2.1 Reference Equations of State ……………………………………………………………………… 11
2.2.2 Short Fundamental Equations of State for Industrial Applications ………………….. 14
2.2.3 Fast Fundamental Equations for Separate Regions ……………………………………….. 14
2.3 Backward Equations ………………………………………………………………………………………… 18
2.4 Table Look-Up Methods ………………………………………………………………………………….. 19
2.4.1 One-Dimensional Functions ………………………………………………………………………. 20
2.4.1.1 Local Polynomial Interpolation …………………………………………………………. 21
2.4.1.2 Tabular Taylor Series Expansion Method (TTSE) ……………………………….. 22
2.4.1.3 Spline Interpolation and Approximation Algorithms ……………………………. 23
2.4.2 Two-Dimensional Functions ……………………………………………………………………… 27
2.4.2.1 Local Polynomial Interpolation …………………………………………………………. 28
2.4.2.2 Tabular Taylor Series Expansion Method (TTSE) ……………………………….. 29
2.4.2.3 Spline Interpolation and Approximation Algorithms ……………………………. 31
2.4.3 Thermodynamic Consistency of Table Look-up Methods ……………………………… 37
2.5 Computing Time ………………………………………………………………………………………………38
2.5.1 Computing Times of Various Operations …………………………………………………….. 38
2.5.2 Computationally Efficient Implementation of Property Formulations ……………… 41
2.5.3 Computing-Time Comparisons ………………………………………………………………….. 44
2.6 Conclusions for the Development of a Fast and Accurate Property Calculation
Method for Extensive Process Simulations ………………………………………………………… 48
3 The Spline-Based Table Look-Up Method (SBTL) ………………………………………………… 50
3.1 One-Dimensional Spline Functions …………………………………………………………………….50
3.1.1 Spline Functions ………………………………………………………………………………………. 50
3.1.2 Transformations ……………………………………………………………………………………….. 53
3.1.3 Inverse Spline Functions …………………………………………………………………………… 54
3.1.4 Derivatives ………………………………………………………………………………………………. 55
3.2 Two-Dimensional Spline Functions …………………………………………………………………… 56
3.2.1 Spline Functions ………………………………………………………………………………………. 56

3.2.2 Transformations ……………………………………………………………………………………….. 63
3.2.3 Inverse Spline Functions …………………………………………………………………………… 65
3.2.4 Derivatives ………………………………………………………………………………………………. 67
3.2.5 Calculations in the Two-Phase Region ………………………………………………………… 68
4 FluidSplines – Software for Generating SBTL Property Functions ………………………… 71
4.1 Basic Structure ……………………………………………………………………………………………….. 71
4.2 Generation of One-Dimensional SBTL Property Functions ………………………………….. 74
4.3 Generation of Two-Dimensional SBTL Property Functions………………………………….. 75
5 SBTL Property Functions Based on IAPWS-IF97 for Water and Steam ………………… 79
5.1 Spline Functions of (v,u) and Inverse Functions ………………………………………………….. 79
5.1.1 Range of Validity ……………………………………………………………………………………… 79
5.1.2 Spline Functions for the Single-Phase Region ……………………………………………… 80
5.1.3 Calculations in the Two-Phase Region ………………………………………………………… 81
5.1.4 Derivatives ………………………………………………………………………………………………. 81
5.1.5 Deviations from IAPWS-IF97 ……………………………………………………………………. 81
5.1.6 Numerical Consistency at Region Boundaries ……………………………………………… 83
5.2 Spline Functions of (p,h) and Inverse Functions ………………………………………………….. 84
5.2.1 Range of Validity ……………………………………………………………………………………… 84
5.2.2 Spline Functions for the Single-Phase Region ……………………………………………… 85
5.2.3 Calculations in the Two-Phase Region ………………………………………………………… 86
5.2.4 Derivatives ………………………………………………………………………………………………. 86
5.2.5 Deviations from IAPWS-IF97 ……………………………………………………………………. 86
5.2.6 Numerical Consistency at Region Boundaries ……………………………………………… 88
5.3 Spline Functions for the Metastable-Vapor Region ……………………………………………… 89
5.3.1 Spline Functions of (v,u) …………………………………………………………………………… 89
5.3.2 Spline Functions of (p,h) …………………………………………………………………………… 89
5.3.3 Deviations from IAPWS-IF97 ……………………………………………………………………. 89
5.4 Computing-Time Comparisons …………………………………………………………………………. 92
6 SBTL Property Functions Based on IAPWS-95 for Water and Steam ……………………. 95
6.1 Spline Functions of (v,u) ………………………………………………………………………………….. 95
6.1.1 Range of Validity ……………………………………………………………………………………… 95
6.1.2 Spline Functions for the Single-Phase Region ……………………………………………… 96
6.1.3 Deviations from IAPWS-95 ………………………………………………………………………. 96
6.2 Spline Functions of (p,h) ………………………………………………………………………………….. 98
6.2.1 Range of Validity ……………………………………………………………………………………… 98
6.2.2 Spline Functions for the Single-Phase Region ……………………………………………… 99

6.2.3 Deviations from IAPWS-95 ………………………………………………………………………. 99
6.3 Computing-Time Comparisons …………………………………………………………………………. 99
7 Bicubic Spline Functions for the Thermodynamic Potential s(v,u)
for Water and Steam ………………………………………………………………………………………….. 101
7.1 Range of Validity ………………………………………………………………………………………….. 101
7.2 Property Calculations in the Single-Phase Region ……………………………………………… 102
7.3 Deviations from IAPWS-95 ……………………………………………………………………………. 104
7.4 Computing-Time Comparisons ……………………………………………………………………….. 105
7.5 Property Calculations in the Two-Phase Region ………………………………………………… 106
8 Application of the SBTL Method in Computationally Expensive Process
Simulations ………………………………………………………………………………………………………… 107
8.1 Computational Fluid Dynamics ………………………………………………………………………..107
8.2 Heat Cycle Simulations ………………………………………………………………………………….. 109
8.3 Nuclear Reactor System Safety Analysis ………………………………………………………….. 111
9 Summary and Outlook ……………………………………………………………………………………….. 114
Appendix ……………………………………………………………………………………………………………. 118
A1 Grid Optimization Algorithm of Kretzschmar et al. …………………………………………… 118
A2 Relationships between the Derivatives of the Residual Helmholtz Free Energy …….. 119
A3 Newton’s Method for Two Dimensions ……………………………………………………………. 120
A4 Newton’s Method for Three Dimensions ………………………………………………………….. 121
A5 Property Calculations in the Two-Phase Region from (p,h) ………………………………… 122
A6 Property Calculations in the Two-Phase Region from (p,s) …………………………………. 122
A7 Property Calculations in the Two-Phase Region from (h,s) …………………………………. 122
A8 Property Calculations in the Two-Phase Region from (v,u) …………………………………. 123
A9 Property Calculations in the Two-Phase Region from (p,v) …………………………………. 125
A10 Property Calculations in the Two-Phase Region from (u,s) ……………………………….. 125
A11 Transformations and Grid Dimensions …………………………………………………………… 127
A12 Deviations of (v,u) and (p,h) Spline Functions from IAPWS-IF97 …………………….. 138
A13 Deviations of (v,u) and (p,h) Spline Functions from IAPWS-95 ………………………… 144
A14 Bicubic Spline Functions for s(v,u) and Derived Properties –
Deviations from IAPWS-95 ………………………………………………………………………….. 149
References ………………………………………………………………………………………………………….. 153

Kurzfassung
Numerische Prozesssimulationen, wie beispielsweise rechnergestützte Analysen strömungsmechanischer Vorgänge (englisch: Computational Fluid Dynamics, CFD), Kreisprozessberechnungen
zur Auslegung kraftwerkstechnischer Anlagen und Betriebsoptimierungen in Echtzeit, werden in der Energietechnik vielfältig eingesetzt. Diese Simulationen sind rechentechnisch sehr aufwändig, insbesondere wenn instationäre Vorgänge betrachtet werden müssen. Während der Prozessberechnung müssen die thermophysikalischen Eigenschaften der verwendeten Arbeitsfluide extrem häufig ermittelt werden. Hierfür werden schnelle und genaue Stoffwertfunktionen benötigt. Die verwendeten Stoffwert-Berechnungsalgorithmen müssen einmal stetig differenzierbar und numerisch konsistent zueinander sein. Aufgrund ihrer langen
Rechenzeiten sind genaue empirische Zustandsgleichungen für den Einsatz in aufwändigen numerischen Prozesssimulationen nicht geeignet, weshalb auf einfachere, jedoch häufig auch ungenauere Stoffwert-Berechnungsalgorithmen zurückgegriffen wird.

Um schnelle und gleichzeitig sehr genaue Stoffwert-Berechnungsalgorithmen zur Verfügung zu stellen, hat die International Association for the Properties of Water and Steam (IAPWS) die Task Group “CFD Steam Property Formulation“ gebildet. Innerhalb dieser Task Group wurde das Spline-basierte Table Look-up Verfahren (SBTL) im Rahmen dieser Arbeit entwickelt. Das SBTL Verfahren kombiniert Spline-Interpolationsalgorithmen mit speziellen Koordinatentransformationen um die zugrunde gelegte Stoffwertgleichung, beispielsweise die Industrieformulation IAPWS-IF97 oder die wissenschaftliche Formulation IAPWS-95 für Wasser und Wasserdampf, mit hoher Genauigkeit und geringer Rechenzeit wiederzugeben. Abhängig vom Grad der verwendeten Spline-Polynome sind SBTL Stoffwertfunktionen mindestens einmal stetig differenzierbar. Zudem ermöglicht das SBTL Verfahren die Berechnung numerisch konsistenter Umkehrfunktionen.

In der vorliegenden Arbeit wird die Entwicklung des SBTL Verfahrens sowie dessen praktische Anwendung zur Stoffwertberechnung in numerischen Prozesssimulationen beschrieben. Dazu werden zunächst die derzeit verwendeten Stoffwert-Berechnungsalgorithmen hinsichtlich ihrer Genauigkeit und ihres Rechenzeitbedarfs diskutiert. Ausgehend von den gewonnenen Erkenntnissen werden Zielstellungen und Ansätze für die Entwicklung eines neuen Stoffwert-Berechnungsverfahrens formuliert. Anschließend wird das entwickelte
SBTL Verfahren im Detail erläutert. Das SBTL Verfahren wird beispielhaft auf die Industrieformulation IAPWS-IF97, die wissenschaftliche Formulation IAPWS-95 sowie die aktuellen IAPWS Formulationen für die Transporteigenschaften für Wasser und Wasserdampf angewendet. Für diese zugrunde liegenden Gleichungen werden SBTL Stoffwertfunktionen von spezifischem Volumen und spezifischer innerer Energie (v,u), wie sie beispielsweise in CFD Simulationen zum Einsatz kommen, vorgestellt. Zudem werden aus diesen SBTL
Stoffwertfunktionen numerisch konsistente Umkehrfunktionen von (p,v) und (u,s) entwickelt. Analog werden SBTL Stoffwertfunktionen für die in Kreisprozessberechnungen häufig auftretende Variablenkombination von Druck und spezifischer Enthalpie (p,h) sowie entsprechende Umkehrfunktionen von (p,T), (p,s) und (h,s) beschrieben. Mit diesen Funktionen können die thermophysikalischen Eigenschaften sowie deren Ableitungen und Umkehrfunktionen im Ein- und Zweiphasengebiet berechnet werden. Die aus den SBTL Funktionen
berechneten Stoffwerte stimmen mit den zugrundeliegenden Gleichungen mit sehr hoher Genauigkeit überein, beanspruchen aber wesentlich geringere Rechenzeiten. Typische maximale Abweichungen betragen je nach Stoffwertfunktion und Gültigkeitsbereich 1 bis 100 ppm. Im Vergleich mit dem Industriestandard IAPWS-IF97 sind die SBTL Funktionen von (v,u) mehr als 100-mal schneller. Gegenüber dem wissenschaftlichen Standard IAPWS-95 sind diese Funktionen mehr als 200-mal schneller.

Die Anwendbarkeit des SBTL Verfahrens wird im CFD-Code TRACE, entwickelt am Deutschen Zentrum für Luft- und Raumfahrt (DLR), sowie in den Kreisprozessberechnungsprogrammen KRAWAL-modular, entwickelt von SIEMENS PG, und EBSILON® Professional, entwickelt von STEAG Energy Services, nachgewiesen. Weiterhin wird der Nutzen des SBTL Verfahrens in RELAP-7, der vom Idaho National Laboratory (INL)
entwickelten Software zur Simulation instationärer Prozesse in Kernreaktoren, aufgezeigt. Die Ergebnisse der Prozessberechnungen mit dem SBTL Verfahren weisen gegenüber der direkten Verwendung der zugrunde liegenden Gleichungen vernachlässigbare Differenzen auf. Die Gesamtrechenzeiten der Prozessberechnungen werden jedoch signifikant reduziert.

Für die Anwendung des SBTL Verfahrens auf weitere Stoffwertfunktionen und beliebige Fluide ist in dieser Arbeit die Software FluidSplines entwickelt worden.

Auf Grundlage der Ergebnisse dieser Arbeit ist die neue “IAPWS Guideline on the Fast Calculation of Steam and Water Properties with the Spline-Based Table Look-Up Method (SBTL)” erarbeitet worden, welche von der IAPWS im Jahr 2015 als internationale Richtlinie verabschiedet wurde.

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