Simulation von Rissen in höchstfesten Stahlblechen mit einem Trefftz-Element für Mixed-Mode-Beanspruchungen

Produktbeschreibung

Zusammenfassung

In der vorliegenden Arbeit wird ein spezielles hybrides Trefftz-Element zur Simulation von Rissen in dünnen Platten unter Modus III-Belastung entwickelt. Das Element wird zur Erweiterung etablierter Modus I/II-Elemente verwendet und kann zur Simulation beliebiger Belastungen an der Rissspitze im Rahmen der linear-elastischen Bruchmechanik eingesetzt werden. Die Elementformulierung basiert auf der bekannten analytischen Lösung der Bipotentialgleichung aus der Kirchhoffschen Plattentheorie. Mit Hilfe der Funktionentheorie wird die allgemeine Lösung an das spezielle Problem einer Platte mit Innenriss angepasst, sodass die Spannungsrandbedingungen entlang des Rissufers exakt erfüllt werden. Die Verschiebungsrandbedingungen am verbleibenden Elementrand werden durch ein erweitertes elastisches Potential berücksichtigt. Die freien Parameter des Lösungsansatzes ergeben sich schließlich aus der Minimierung des erweiterten Potentials. Die Validierung der neuentwickelten Elementformulierung zeigt die Konvergenz der Lösung bei Erhöhung der Anzahl der berücksichtigten Ordnungen des Lösungsansatzes gegen die Vergleichslösung aus einem feinvernetzten Finite-Elemente-Modell.

Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung 1
2 Aktueller Stand von Forschung und Technik 4
2.1 Strukturbauteile aus höchstfestem Stahl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.2 Crashsimulation mit der expliziten FEM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.3 Risse mit hoher Spannungslokalisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.4 Kriterien für Rissfortschritt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.5 Methoden zur Simulation von Rissen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.6 Spezielle hybride Trefftz-Elemente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3 T-vollständige Lösung des Modus III-Rissproblems 23
3.1 Kinematik und Verzerrungstensor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.2 Elastisches Potential der Platte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.3 Darstellung in kartesischen Koordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.4 Prinzip vom Minimum der potentiellen Energie und Randwertproblem . . . 31
3.5 Komplexe Lösung der Bipotentialgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.6 Komplexe Darstellung des Verzerrungstensors und der Randgrößen . . . . . 35
3.7 Darstellung mit komplexen Potentialen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.8 Von-Mises-Spannung in komplexer Darstellung . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.9 Randbedingungen am Rissufer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.10 Komplexe Darstellung der Randbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.11 Integrale Form der komplexen Randbedingung . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.12 Entfaltung der Rissufer durch konforme Abbildung . . . . . . . . . . . . . 41
3.13 Lösung unter Berücksichtigung der Randbedingungen . . . . . . . . . . . . 42
4 Hybride Formulierung des Rissspitzenelements 44
4.1 Erweitertes Potential mit Langrangemultiplikatoren . . . . . . . . . . . . . 45
4.2 Erweitertes Potential nach dem Prinzip von Hu-Washizu . . . . . . . . . . 47
4.3 Herleitung mit dem Satz von Betti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
4.4 Matrixdarstellung des erweiterten Potentials . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
4.5 Konstruktion der Verschiebungsrahmen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
4.6 Berechnung des Koeffizientenvektors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
4.7 Berechnung der Starrkörperbewegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
4.8 Freie Randknoten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
4.9 Algorithmus zur Simulation von Rissfortschritt . . . . . . . . . . . . . . . . 59
5 Ermittlung von Materialdaten 63
5.1 Beschreibung des Risswiderstands durch CTOA . . . . . . . . . . . . . . . 64
5.2 Versuchsaufbau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
5.3 Auswertungsalgorithmus für CTOA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
5.4 Ergebnisse der Versuche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
5.5 Rissfortschrittskriterium für die Simulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
5.6 Zusammenfassung und Diskussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
6 Modellvalidierung 88
6.1 Verifikation der Implementierung des T-Elements . . . . . . . . . . . . . . 88
6.2 Validierung der T-Elementformulierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
6.3 Beispiel für die gekoppelte Simulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
6.4 Erweiterung zum Mixed-Mode-Element . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
6.5 Gekoppelte Simulation mit Rissfortschritt . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
6.6 Diskussion der Validierungsergebnisse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
7 Zusammenfassung 113
A Weitere Auswertungsergebnisse 115
A.1 Weg-, Kraft- und Potentialverläufe der Versuche . . . . . . . . . . . . . . . 115
A.2 Validierungsbeispiel mit unsymmetrischer Belastung . . . . . . . . . . . . . 117
A.3 Weiteres Validierungsbeispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
A.4 Polygonförmiges Element . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
A.5 Gekoppelte Simulation mit unregelmäßigem Netz . . . . . . . . . . . . . . 127
A.6 Ebene Spannungsanteile des Schalenelements . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
A.7 Einzelschritte der Gesamtsimulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
A.8 Elastische Verzerrungsenergie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
A.9 Plattentheorien im Vergleich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

Keywords: Hybrides Trefftz-Element, T-vollständige Lösungen, Strip-Yield-Modell, Mode-III-Riss, Konforme Abbildung, Funktionentheorie,