Bisher größte Primzahl entdeckt: Wie GPUs dabei halfen
Der Forscher Luke Durant hat jetzt mithilfe eines globalen GPU-Systems die größte bisher bekannte Primzahl entdeckt: 2136.279.841–1. Diese Zahl ist über 41 Mio. Dezimalstellen lang und gehört zur Klasse der Mersenne-Primzahlen, die seit Jahrhunderten von Mathematikern untersucht werden. Doch warum ist es so schwierig, immer wieder neue Primzahlen zu entdecken, und warum gilt das vor allem für Mersenne-Primzahlen?
Foto: picture alliance / Science Photo Library
Bei Primzahlen handelt es sich um Zahlen, die nur durch sich selbst und durch 1 teilbar sind. Bereits in der Antike faszinierte diese Eigenschaft Mathematiker, da Primzahlen eine fundamentale Rolle in der Zahlentheorie spielen. Doch obwohl die ersten Primzahlen wie 2, 3, 5 oder 7 einfach zu erkennen sind, wird es zunehmend schwieriger, größere Primzahlen zu identifizieren. Das liegt daran, dass Primzahlen unregelmäßig unter den natürlichen Zahlen verteilt sind und es keine einfache Formel gibt, um sie vorherzusagen.
Mersenne-Primzahlen sind eine besondere Untergruppe von Primzahlen, die die Form 2p–1 haben, wobei der Exponent p selbst eine Primzahl sein muss. Das Besondere an diesen Zahlen ist ihre mathematische Einfachheit, kombiniert mit einer außergewöhnlichen Größe. Die ersten Mersenne-Primzahlen wurden schon vor über 350 Jahren vom französischen Mönch Marin Mersenne untersucht, dessen Name sie heute tragen. Trotz ihrer scheinbar einfachen Struktur sind Mersenne-Primzahlen extrem selten – bisher sind erst 52 entdeckt worden.
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We have a new record!
The Great Internet Mersenne Prime Search verified that this massive number is indeed prime.
Which also means that a new perfect number has been discovered.
The last record held for an unusually long time—almost 6 years. We’ll see how long this stands. pic.twitter.com/LB4zLGbZuq
— Jay Cummings (@LongFormMath) October 21, 2024
Die Schwierigkeit der Primzahlsuche
Die Suche nach neuen Mersenne-Primzahlen ist eine enorme rechnerische Herausforderung. Mit steigenden Exponenten p wachsen die Kandidaten exponentiell. Bereits die Berechnung von 2136.279.841 ist eine immense mathematische Leistung, die spezielle Algorithmen und moderne Hardware erfordert. Das GIMPS-Projekt (Great Internet Mersenne Prime Search), das sich diese Forschung seit 1996 auf die Fahnen geschrieben hat, nutzt daher Distributed Computing, um die gewaltige Rechenleistung aufzubringen, die erforderlich ist, um immer größere Primzahlen zu finden.
Die Hauptschwierigkeit bei der Suche nach Primzahlen liegt in der notwendigen Beweisführung. Es reicht nicht aus, nur einen Algorithmus durchlaufen zu lassen, der potenzielle Primzahlen identifiziert – jede gefundene Zahl muss auch mit speziellen mathematischen Tests wie dem Lucas-Lehmer-Test bestätigt werden.
Zudem erschwert die Ungleichmäßigkeit der Verteilung die Primzahlsuche. Während die Abstände zwischen den ersten Primzahlen relativ klein sind, nehmen sie mit zunehmender Größe der Zahlen zu. Das bedeutet, dass es immer unwahrscheinlicher wird, eine neue Primzahl in einem bestimmten Bereich der natürlichen Zahlen zu finden. Das gilt vor allem für Mersenne-Primzahlen, bei denen die Abstände zwischen den Entdeckungen oft mehrere Jahre betragen.
Aufwendige und rechenintensive Beweisführung
Im Gegensatz zu kleineren Primzahlen, die mit vergleichsweise einfachen Verfahren überprüft werden können, benötigen die riesigen Zahlen, die bei der Suche nach Mersenne-Primzahlen auftreten, spezialisierte mathematische Methoden. Der Lucas-Lehmer-Test, der 1930 von Édouard Lucas und Derrick Henry Lehmer entwickelt wurde, ist der zentrale Test zur Bestätigung von Mersenne-Primzahlen. Er funktioniert nur für Zahlen der Form 2p–1, was ihn besonders geeignet für die Überprüfung dieser speziellen Primzahlen macht.
Der Test basiert auf einer rekursiven Folge, die speziell für den Exponenten p einer potenziellen Mersenne-Primzahl berechnet wird. Ist das letzte Glied dieser Folge Null, handelt es sich tatsächlich um eine Primzahl. Doch obwohl dieser Test effizienter ist als andere Primzahlerkennungsmethoden, benötigt er bei sehr großen Zahlen wie 2136.279.841–1 immense Rechenressourcen. Jede Berechnung kann Wochen oder Monate dauern, und um sicherzustellen, dass keine Fehler passieren, müssen mehrere unabhängige Tests durchgeführt werden.
Die Zukunft der Primzahlsuche
Mit der Entdeckung 2136.279.841–1 haben GPUs (Grafikprozessoren) eine Schlüsselrolle bei der Primzahlsuche übernommen. Früher wurden solche Entdeckungen hauptsächlich von CPUs (Central Processing Units) gemacht, doch durch den massiven Anstieg der Rechenleistung von GPUs, insbesondere in Cloud-Infrastrukturen, können heute viel größere Zahlen getestet werden. Luke Durant, der Entdecker der aktuellen Primzahl, nutzte Tausende GPUs, verteilt über mehrere Länder (Distributed Computing), um diese Leistung zu erreichen.
Doch welchen Nutzen hat eine solche Entdeckung? Bislang sind solche riesigen Primzahlen nur von theoretischem Interesse. Das könnte sich allerdings in Zukunft ändern, denn dann könnte die Suche nach ihnen die Entwicklung von Anwendungen in der Kryptografie und anderen Bereichen der Informationstechnologie vorantreiben.
